El
director de un instituto, el día que comenzó el curso, reunió a todos los
alumnos en el amplio salón de actos y les dijo:
· En
el instituto hay 1.000 alumnos y 1.000 casilleros.
· En
estos momentos están todos cerrados.
· El
alumno nº 1 abrirá todos.
· El
alumno nº 2 cerrará todos los casilleros pares.
· El
alumno nº 3 cambiará el estado de los casilleros 3,6,9,12,... Es decir, el que
esté abierto lo cierra y el que esté cerrado lo abre.
· El
alumno nº 4 cambiará el estado de los casilleros: 4,8,12,16,...
· El
alumno nº 5 cambiará el estado de los casilleros: 5,10,15,20,...
· Y
así sucesivamente hasta el alumno nº 1.000.
Después
de este entretenido comienzo de curso, ¿cuántos casilleros quedarán abiertos?
Ayudas: ¿Qué hace que un
casillero "cambie de estado"? ¿Qué alumnos cambian el estado de un
casillero concreto? ¿Qué tiene que ocurrir para que un casillero permanezca
abierto?
Está claro que el 1 quedará abierto. Pero también es claro que el estado final dependerá de si la cantidad de factores de un número es par o impar. Por ej. los factores de 10 son 1,2,5 y 10, eso quiere decir que el alumno 1 abre el casillero 10 y el 2 lo cierra, el 5 lo abre y finalmente el 10 lo cierra.
ResponderEliminarAdemás los factores se pueden agrupar en pares que dan el mismo producto, en el ejemplo anterior (1, 10) y (2,5), por lo que sólo habrá un número impar de factores cuando un número sea un cuadrado.
Entonces el número de casilleros abiertos es igual al número de cuadrados que hay entre 1 y 1000 y eso el piso de la raíz de 100, o sea 31.
el hecho de que un casillero concreto cambie de estado se debe a la cantidad de números divisores que tenga el número asignado al casillero. Y el número de casilleros abiertos es de 31.
ResponderEliminarXabi