Restando de 11 el
2, se obtiene 9, que es un cuadrado perfecto.
Restando de 1111
el 22, se obtiene 1.089, que también es un cuadrado perfecto.
Lo curioso es, que
siempre que formemos un número con una cantidad par de unos y otro con la mitad
de doses, al restar del primero el segundo obtenemos un cuadrado perfecto.
¿Cree Vd. que esta
afirmación es cierta?
Tomemos el número 10^n / 3. Este número tiene como parte entera 333..n)..333 con n treses y como parte fraccionaria 1/3: 10^n / 3 = 333..n)..333 + 1/3.
ResponderEliminarElevamos los dos términos de la igualdad al cuadrado:
(1) 10^2n / 9 = 333..n)..333^2 + 2/3 x 333..n)..333 + 1/9 = 333..n)..333^2 + 222..n)..222 + 1/9.
10^(2n) / 9 tiene como parte entera 111..2n)..111 con 2n unos y como parte fraccionaria 1/9: 10^(2n) / 9 = 111..2n)..111 +1/9. Sustituyendo en (1):
111..2n)..111 +1/9 = 333..n)..333^2 + 222..n)..222 + 1/9.
111..2n)..111 = 333..n)..333^2 + 222..n)..222.
(2) 111..2n)..111 - 222..n)..222 = 333..n)..333^2.
Si a un número formado por una cantidad par de unos le restamos otro formado por la mitad de doses, obtenemos el cuadrado de un número formado por la mitad de treses que unos tenía el número original.
QED.
La operación la podemos expresar como:
ResponderEliminar(10^(2k)-1)/9 -(10^k-1)/9 = c^2
Simplificando obtenemos:
(10^k-1)^2/9 = c^2
(10^k-1)^2=9 c^2
10^k-1=3 c
de donde c = (10^k-1)/3
lo que siempre es un entero ya que 10^k-1 es 9999...999 tantos como indica el exponente k.
puesto de otra forma:
c = 3 (10^k-1)/9;
Vicente.,