Una circunferencia
divide al plano en 2 regiones.
Dos
circunferencias pueden dividirlo en 4 regiones.
Tres
circunferencias pueden dividir al plano en 8 regiones como máximo.
¿Y seis
circunferencias?
¿Y diez
circunferencias?
¿Y n circunferencias?
2^n
ResponderEliminarSi tenemos n conjuntos C1, C2, ...Cn, entonces una región es {} elementos que no pertenece a ningún conjunto, otra es {C1} pertenecen sólo a C1, {C1, C2} pertenecen sólo a C1 y C2, etc. Así que el problemas de las regiones es equivalente a cuántos conjuntos se pueden hacer con n elementos, y eso es el conjunto potencia y su cardinal es 2^n.
Supongamos que tenemos N circunferencias que dividen el plano en el máximo de regiones. Ahora agregamos una nueva circunferencia que como máximo corta a cada circunferencia anterior en dos puntos, es decir, en total 2N puntos. Por tanto esta circunferencia está dividida en 2N segmentos, y cada segmento divide una de las regiones anteriores en dos: aparecen 2N nuevas regiones como máximo.
ResponderEliminarLa primera circunferencia divide el plano en 2 regiones, la 2ª circunferencia aporta 2 regiones, la 3ª 4 regiones, la 4ª 6 regiones, la 5ª 8 regiones... Si las sumamos obtenemos la siguiente tabla:
1 circunferencia, 2 regiones
2 circunferencias, 4 regiones
3 circunferencias, 8 regiones
4 circunferencias, 14 regiones
5 circunferencias, 22 regiones
6 circunferencias, 32 regiones
7 circunferencias, 44 regiones
8 circunferencias, 58 regiones
9 circunferencias, 74 regiones
10 circunferencias, 92 regiones
N circunferencias, N(N-1)-2 regiones