Ningún conjunto finito puede ponerse en correspondencia biunívoca con ninguno de sus subconjuntos propios.
La situación es distinta para los conjuntos
infinitos.
Podemos definir los conjuntos infinitos
precisamente por ser aquellos que pueden ponerse en correspondencia biunívoca
con alguno de sus subconjuntos propios.
EL
HOTEL DEL INFINITO.
En el centro de nuestra galaxia hay un hotel
enorme, llamado Hotel del Infinito.
Tiene
un número infinito de habitaciones, que se extienden hasta un espacio de
dimensión superior a través de un agujero negro.
Las
habitaciones están numeradas de 1 en adelante.
a) Un día, estando ocupadas todas las habitaciones, llegó el piloto de un OVNI, que iba camino hacia otra galaxia. A pesar de no disponer de habitaciones, el gerente consiguió dar alojamiento al piloto. ¿Cómo lo consiguió?
b) Al día siguiente se presentaron cinco parejas en luna de miel. ¿Podría el Hotel del Infinito recibirlos?
c) Ese fin de semana llegó un número infinito de comisionistas de chicle, para celebrar una convención. ¿Cómo dar habitación a un número infinito de ellos?
a) Un día, estando ocupadas todas las habitaciones, llegó el piloto de un OVNI, que iba camino hacia otra galaxia. A pesar de no disponer de habitaciones, el gerente consiguió dar alojamiento al piloto. ¿Cómo lo consiguió?
b) Al día siguiente se presentaron cinco parejas en luna de miel. ¿Podría el Hotel del Infinito recibirlos?
c) Ese fin de semana llegó un número infinito de comisionistas de chicle, para celebrar una convención. ¿Cómo dar habitación a un número infinito de ellos?
Solución. a) Trasladó al ocupante de cada habitación a la de número
siguiente. Así, la habitación número 1 quedó libre para el piloto.
b) Sí, el gerente no tuvo más que trasladar a cada residente a la habitación número cinco unidades mayor. De esta forma, las parejas pudieron ocupar los números1
a 5. En este caso y en el anterior, se muestra cómo el
conjunto de todos los números naturales puede coordinarse con uno de sus
subconjuntos propios.
c) El gerente hará mudarse a cada inquilino, llevándolo a una habitación de número doble del que tenía. Así todos quedan alojados en habitaciones con números pares. Y las impares, que son infinitas, quedan libres para alojar a los del chicle. Aquí se pone de manifiesto, que al restar infinitos de infinitos es posible que queden infinitos todavía.
b) Sí, el gerente no tuvo más que trasladar a cada residente a la habitación número cinco unidades mayor. De esta forma, las parejas pudieron ocupar los números
c) El gerente hará mudarse a cada inquilino, llevándolo a una habitación de número doble del que tenía. Así todos quedan alojados en habitaciones con números pares. Y las impares, que son infinitas, quedan libres para alojar a los del chicle. Aquí se pone de manifiesto, que al restar infinitos de infinitos es posible que queden infinitos todavía.
El día 17-12-2012 y el día 28-01-2013 aparecieron estas entradas que recomiendo ver.
