Imaginemos
que pegando 27 cubitos idénticos formamos un cubo grande.
Una termita comienza a perforar un túnel por el centro de
una cara de uno de los cubitos exteriores, con la intención de pasar una y
solamente una vez por cada uno de los cubitos, y esto, siguiendo siempre una
trayectoria paralela a una de las aristas, pero nunca en diagonal.
¿Podrá la termita realizar su trayecto recorriendo primero
los 26 cubitos exteriores una y solamente una vez, y terminar su túnel en el
cubito central al penetrar en él por primera vez?
Si la trayectoria es posible, indíquese cuál es; si es
imposible, demuéstrese la imposibilidad.
No se puede. Si hay cubos blancos y negros como en el dibujo siempre se pasa de un cubo a otro de diferente color. Como hay 14 negros y 13 blancos se debe empezar y acabar en uno negro. Pero como el central es blanco, no puede ser el último.
ResponderEliminarNo es posible. Imaginemos que los cubitos sean alternativamente blancos y negros. Habrá 13 cubitos de un color y 14 de otro. La trayectoria de la termita atraviesa cubitos alternativamente de un color y otro; por tanto, para atravesar los 27 cubitos, habrá de empezar y terminar en un cubito del grupo de los 14. El cubito central siempre pertenecerá al grupo de los 13, lo que hace imposible la trayectoria pedida.
ResponderEliminarGeneralización:
Un cubo de orden par (cuya arista tiene un número par de celdillas) tiene el mismo número de cubitos de uno y otro color. No hay cubito central, y una trayectoria completa del tipo anterior puede comenzar y terminar en cubitos cualesquiera con tal de que sean de distinto color. Un cubo de orden impar tiene un cubito más de un color que del otro, y, por consiguiente, una trayectoria completa debe comenzar y terminar en cubitos de la clase más numerosa. En los cubos impares de órdenes 3, 7, 11, 15, 19, ... la casilla central pertenece a la clase más pequeña y, por consiguiente, no puede ser el extremo de ninguna trayectoria completa. En los cubos de orden impar igual a 1, 5, 9, 13, 17, ... el cubito central pertenece al color más numeroso, así que puede ser el extremo de cualquier camino que comience en una celdilla del mismo color.
En los cubos de orden impar es imposible efectuar túneles que pasen una y solamente una vez por cada cubito, debido a que uno de los colores tiene un cubito de más.