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sábado, 4 de enero de 2014
300. LA LUNA Y EL TRIÁNGULO
Las áreas rayadas
de la luna y el triángulo, ¿son iguales?
Aquí voy a hacer unos supuestos, que la curva AB que forma el exterior de la media luna es un semicírculo y que R es el radio del círculo grande. No es difícil ver que si este semicírculo pequeño tiene la misma área que un cuarto del área del círculo grande entonces el área de la media luna y el triángulo coinciden.
El radio del semicírculo pequeño es (R√2)/2, y por lo tanto su área es πR²/4 que es exactamente 1/4 del área del círculo grande y por lo tanto la luna y el triángulo tienen la misma área.
Las áreas rayadas
de la luna y el triángulo, ¿son iguales?
Sí si R es igual a 1. Inma
ResponderEliminarAquí voy a hacer unos supuestos, que la curva AB que forma el exterior de la media luna es un semicírculo y que R es el radio del círculo grande. No es difícil ver que si este semicírculo pequeño tiene la misma área que un cuarto del área del círculo grande entonces el área de la media luna y el triángulo coinciden.
ResponderEliminarEl radio del semicírculo pequeño es (R√2)/2, y por lo tanto su área es πR²/4 que es exactamente 1/4 del área del círculo grande y por lo tanto la luna y el triángulo tienen la misma área.
Ambos tienen el mismo área, demostración
ResponderEliminarArea del triángulo rayado,, AT = RR/2 = R^2/2
Area del sector de radio R donde se encuentra el triángulo rayado, ASR = (πR^2)/4
Area sector blanco será igual al área del sector de radio R menos el área del triángulo
ASB = (πR^2)/4 - R^2/2 = (2πR^2-2R^2)/4
El lado AB será el diámetro del semicírculo donde está incluida la luna rayada
AB = √(R^2+R^2 ) = R√2
El área de la semicircunferencia de diámetro AB será: π〖((R√2)/2)〗^2 = (2πR^2)/4
Luego el área de la luna será el área del semicírculo de diámetro AB menos el área del sector blanco
AL = (2πR^2)/4 - (2πR^2-2R^2)/4 = (2R^2)/4 = R^2/2