NOTA DEL AUTOR

La transcripción comienza el 01-12-2012 con (EL ASPECTO), continúa con el (PRÓLOGO) y con la (INTRODUCCIÓN) ordenada en 75 partes. Sigue con el resto de las entradas en las que también habrá adivinanzas, enigmas, rompecabezas, preguntas con respuesta, curiosidades y anécdotas sobre matemáticas y enseñanza, frases escogidas, frases sacando punta, frases que hablamos mal, diálogos escogidos, diálogos paradójicos, salidas para todo.

sábado, 17 de octubre de 2015

900. PLANO Y CIRCUNFERENCIAS

Una circunferencia divide al plano en 2 regiones.
Dos circunferencias pueden dividirlo en 4 regiones.
Tres circunferencias pueden dividir al plano en 8 regiones como máximo.
¿Y seis circunferencias?
¿Y diez circunferencias?
¿Y n circunferencias?

2 comentarios:

  1. 2^n

    Si tenemos n conjuntos C1, C2, ...Cn, entonces una región es {} elementos que no pertenece a ningún conjunto, otra es {C1} pertenecen sólo a C1, {C1, C2} pertenecen sólo a C1 y C2, etc. Así que el problemas de las regiones es equivalente a cuántos conjuntos se pueden hacer con n elementos, y eso es el conjunto potencia y su cardinal es 2^n.

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  2. Supongamos que tenemos N circunferencias que dividen el plano en el máximo de regiones. Ahora agregamos una nueva circunferencia que como máximo corta a cada circunferencia anterior en dos puntos, es decir, en total 2N puntos. Por tanto esta circunferencia está dividida en 2N segmentos, y cada segmento divide una de las regiones anteriores en dos: aparecen 2N nuevas regiones como máximo.

    La primera circunferencia divide el plano en 2 regiones, la 2ª circunferencia aporta 2 regiones, la 3ª 4 regiones, la 4ª 6 regiones, la 5ª 8 regiones... Si las sumamos obtenemos la siguiente tabla:

    1 circunferencia, 2 regiones
    2 circunferencias, 4 regiones
    3 circunferencias, 8 regiones
    4 circunferencias, 14 regiones
    5 circunferencias, 22 regiones
    6 circunferencias, 32 regiones
    7 circunferencias, 44 regiones
    8 circunferencias, 58 regiones
    9 circunferencias, 74 regiones
    10 circunferencias, 92 regiones
    N circunferencias, N(N-1)-2 regiones

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